A demonstração atribuída a Pitágoras

Considere o triângulo ABC reto em Â
*A projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC é o segmento BH;
*A projeção do cateto AC sobre a hipotenusa BC é o segmento HC;
*AH é a altura relativa à hipotenusa BC.

Temos:
med (BC) = a med (AB) = c med (HC) = n
med (AC) = b med (BH) = m med (AH) = h

Observe que: m + n = a


*(I) Os triângulos AHB e ABC são semelhantes, pois têm um lado comum e um ângulo comum. Os outros dois ângulos têm correspondentes nos dois triângulos, pois um dos ângulos é reto.
*(II) De modo análogo, provamos que os triângulos AHC e ABC são semelhantes.
*De (I) e (II) pode-se concluir que os triângulos, ABH e AHC são semelhantes, pois ambos são semelhantes a um terceiro, o triângulo ABC.

a está para c assim como c está
para m.

a está para b assim como b está
para n.

*De (III) e (IV), temos que: b² + c² = an + am = a(n + m)
*Mas, n + m = a
Então:
b² + c² = a²
Aí está a proposição de Pitágoras, que relaciona a soma dos quadrados das medidas dos catetos com o quadrado da medida da hipotenusa.