A demonstração atribuída a Pitágoras

Considere o triângulo ABC reto em Â:

*A projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC é o segmento BH;

*A projeção do cateto AC sobre a hipotenusa BC é o segmento HC;

*AH é a altura relativa à hipotenusa BC.

Temos:

med (BC) = a med (AB) = c med (HC) = n

med (AC) = b med (BH) = m med (AH) = h

Observe que:

m + n = a

I. Os triângulos AHB e ABC são semelhantes, pois têm um lado comum e um ângulo comum. Os outros dois ângulos têm correspondentes nos dois triângulos, pois um dos ângulos é reto.

II. De modo análogo, provamos que os triângulos AHC e ABC são semelhantes.

De (I) e (II) pode-se concluir que os triângulos, ABH e AHC são semelhantes, pois ambos são semelhantes a um terceiro, o triângulo ABC.

a está para c assim como c está para m.

a está para b assim como b está para n.

De (III) e (IV), temos que: b² + c² = an + am = a(n + m).

Mas, n + m = a

Então:b² + c² = a²

Aí está a proposição de Pitágoras, que relaciona a soma dos quadrados das medidas dos catetos com o quadrado da medida da hipotenusa.