A demonstração atribuída a Pitágoras

Considere o triângulo ABC reto em Â
*A projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC é o segmento BH;
*A projeção do cateto AC sobre a hipotenusa BC é o segmento HC;
*AH é a altura relativa à hipotenusa BC.

Temos:
med (BC) = a med (AB) = c med (HC) = n
med (AC) = b med (BH) = m med (AH) = h

Observe que: m + n = a


*(I) Os triângulos AHB e ABC são semelhantes, pois têm um lado comum e um ângulo comum. Os outros dois ângulos têm correspondentes nos dois triângulos, pois um dos ângulos é reto.
*(II) De modo análogo, provamos que os triângulos AHC e ABC são semelhantes.
*De (I) e (II) pode-se concluir que os triângulos, ABH e AHC são semelhantes, pois ambos são semelhantes a um terceiro, o triângulo ABC.

a está para c assim como c está
para m.

a está para b assim como b está
para n.

*De (III) e (IV), temos que: b² + c² = an + am = a(n + m)
*Mas, n + m = a
Então:
b² + c² = a²
Aí está a proposição de Pitágoras, que relaciona a soma dos quadrados das medidas dos catetos com o quadrado da medida da hipotenusa.

Biografia de Pitágoras

Conforme o site
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm23/biografiapitagoras.htm

Pitágoras, matemático, filósofo, astronomo, músico e místico grego, nasceu na ilha de Samos ( na actual Grécia ), ele é uma pessoa muito importante no desenvolvimento da matemática, sendo frequentemente considerado como o primeiro matemático puro. No entanto, pouco se sabe sobre as suas realizações matemáticas pois não deixou obra escrita e, além disso, a sociedade que ele fundou e dirigiu tinha um carácter comunitário e secreto. A Escola Pitagórica defendia o princípio de que a origem de todas as coisas estava nos números, o atomismo numérico.
Ao longo da sua vida, Pitágoras viajou por vários países, tendo aprendido muitos conhecimentos matemáticos com os egípcios e os babilonios. Entre outros, dois filósofos com que Pitágoras estudou e que influenciaram as suas ideias matemáticas foram Tales de Mileto e o seu pupilo Anaximander.



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Relações métricas no triângulo retângulo

Você ouviu falar em “harpedonatas” ou “esticadores de corda” do antigo Egito?

Conta-se que, para obter ângulos retos, que eram usados para medir as terras após as enchentes do Rio Nilo, os esticadores de corda utilizavam uma corda com 13 nós eqüidistantes numa corda com 12 unidades de comprimento. Juntavam o 1º nó com o 13º, formando um triângulo como indicado na figura.


As estacas marcam o 5º e o 8º nós. O triângulo ABC tem lados medindo, 3, 4 e 5. O ângulo ABC é reto.O triângulo assim obtido possui lados que medem 3,4 e 5 unidades de comprimento, e é um triângulo retângulo. Esse procedimento para obter cantos retos já era conhecido pelos esticadores de corda há aproximadamente 5 mil anos.

Atividade para fazer com os alunos

Providencie um pedaço de barbante de cerca de 1,5 m de comprimento e dê um nó a cada 10 cm, até obter 13 nós. Faça como os egípcios: estique o barbante e fixe três desses nós. Faça coincidir o décimo terceiro nó com o primeiro.
Em que situação você poderá obter um triângulo retângulo?

Relação entre as medidas dos lados do triângulo particular dos egípicios

Baseado no triângulo retângulo particular dos egípcios, e construindo quadrados sobre os lados desses triângulos, podemos obter a figura a seguir, que nos permite estabelecer uma relação entre as medidas dos lados desse triângulo particular.


25 = 16 + 9 ou 5² = 4² + 3²

Se as medidas dos lados de um triângulo retângulo são a, b e c, sendo a a maior das três, então vale a relação: a² = b² + c². Nessas condições confirma-se a relação:

“A área do quadrado construído sobre o lado maior do triângulo retângulo é igual a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os menores lados”

Desafio

Um determinado menino estava habituado a deslocar-se até a escola utilizando dois caminhos: um deslocando-se em linha reta pela praça até a escola e outro contornando o terreno, seguindo 80m em linha reta até a esquina e dobrando à esquerda numa rua perpendicular, por onde anda 120m. Calcule a extensão de cada um. Qual deles é o mais longo e aproximadamente quantos metros o caminho mais longo tem a mais do que o outro?

Resposta do desafio

Resposta: Caminho direto: aproximadamenta 144,2m
Contornando a praça: 200m
O caminho mais longo é o que contorna a praça, tendo aproximadamente 55,8 m a mais que o outro caminho.

Construção do Tangran Pitagórico

Desenhe em um pedaço de cartolina um triângulo retângulo ABC e sobre seus lados construa três quadrados;

• Prolongue a linha IC até encontrar a linha EA no ponto J;


• Prolongue também a linha HB até encontrar FG no ponto K;


• Desenhe a linha KL, que faz ângulo reto com BK.
  

Esta é a base do quebra-cabeça.

• Numere as partes dos quadrados menores ou diferencie-os com cores diferentes;


• Recorte cada uma das partes numeradas;


• Tente encaixar as figuras recortadas dentro do quadrado maior do desenho-base.
  

Através da construção feita, podemos concluir que: num triângulo retângulo a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

Foi assim que Pitágoras chegou á conclusão de que:

a² = b² + c²

Conta a lenda que, como prova de gratidão por ter demonstrado esse teorema Pitágoras sacrificou 100 bois aos Deuses.

A demonstração atribuída a Pitágoras

Considere o triângulo ABC reto em Â:

*A projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC é o segmento BH;

*A projeção do cateto AC sobre a hipotenusa BC é o segmento HC;

*AH é a altura relativa à hipotenusa BC.

Temos:

med (BC) = a med (AB) = c med (HC) = n

med (AC) = b med (BH) = m med (AH) = h

Observe que:

m + n = a

I. Os triângulos AHB e ABC são semelhantes, pois têm um lado comum e um ângulo comum. Os outros dois ângulos têm correspondentes nos dois triângulos, pois um dos ângulos é reto.

II. De modo análogo, provamos que os triângulos AHC e ABC são semelhantes.

De (I) e (II) pode-se concluir que os triângulos, ABH e AHC são semelhantes, pois ambos são semelhantes a um terceiro, o triângulo ABC.

a está para c assim como c está para m.

a está para b assim como b está para n.

De (III) e (IV), temos que: b² + c² = an + am = a(n + m).

Mas, n + m = a

Então:b² + c² = a²

Aí está a proposição de Pitágoras, que relaciona a soma dos quadrados das medidas dos catetos com o quadrado da medida da hipotenusa.

O mais célebre dos teoremas da Matemática

O Teorema de Pitágoras é provavelmente o mais célebre dos teoremas da Matemática. Enunciado pela primeira vez pelo filósofo grego Pitágoras, estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo. Existe uma mnemónica muito utilizada para aprender o teorema, cujo enunciado coincide com a segunda parte da mnemónica. Ao chegar a Siracusa Pitágoras disse a seus netos o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Matematicamente, se c designar a hipotenusa e a e b os catetos, vem que:

Pitágoras e os números

O misticismo em torno dos números não é exclusivo dos pitagóricos. Até hoje as pessoas vêem neles qualidades sobrenaturais: sete é conta de mentiroso, treze é dia de azar... Essa crença originou a numerologia.

Algumas pessoas acreditavam que os números influenciavam nossas vidas. Assim, a determinados números, principalmente os dez primeiros, eram atribuídas virtudes especiais. Isso levou o pitagorismo a concentrar suas atenções nos números inteiros, em detrimento dos fracionários e irracionais. Estes últimos, cuja descoberta se deve aos próprios pitagóricos, eram sistematicamente desprezados nos cálculos aritméticos.

Eis o pensamento numerológico dos pitagóricos:

Número 1 - representava a razão, pois era inalterável;

Número 2 - representava o feminino;

Número 3 - representava o masculino;

Número 4 - representava a justiça, pois era o primeiro produto de dois números iguais
(2 x 2 = 4);

Número 5 - representava o casamento, a união do primeiro número feminino com o primeiro masculino (2 + 3 = 5);

Número 6 - representava o nascimento, pois é a soma dos números 1,2 e 3;

Número 7 - representava a música;

Número 8 - representava o egoísmo;

Número 9 - representava o amor;

Número 10 - representava a natureza. É o resultado de 1 + 2 + 3 + 4, isto é ponto, reta, plano e tetraedro. Portanto, é a soma das dimensões.

Pitágoras dava especial atenção ao número 10, ao qual ele chamava de número divino. Dez era a base de contagem dos gregos, e dez são os vértices da estrela de Pitágoras. “A estrela de Pitágoras” é a estrela de cinco pontas formada pelas diagonais de um pentágono regular.

Pensamentos de Pitágoras

• Educai as crianças e não será preciso punir os homen;
• Não é livre quem não obteve domínio sobre si;
• Pensem o que quiserem de ti, faz aquilo que te parece justo;
• O que fala semeia, o que escuta recolhe;
• Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues;
• Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem;
• Todas as coisas são números;
• A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus;
• A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus;
• A vida é como uma sala de espetáculos: entra-se, vê-se e sai-se.

Curiosidades pitagóricas

• PITÁGORAS E A MÚSICA

Pitágoras descobriu que a altura de um som tem relação com o comprimento da corda que, ao vibrar, o produz.

Ex.: Se dobrarmos o tamanho de uma corda que produz a nota dó, obteremos a mesma nota, mais grave. Ele identificou, ainda, as subdivisões necessárias para se obter as demais notas. A ele é atribuído a descoberta doas intervalos musicais.

• PITÁGORAS E A ASTRONOMIA

Pitágoras pensava que a Terra era uma esfera no centro do Universo. Para ele, o Sol, a Lua e os planetas apresentavam órbitas próprias. Isso lhe permitia concluir que esses astros não se situavam a mesma distância que as estrelas, mas que todos eles estavam situados numa camada esférica mais próxima.

• PITÁGORAS E A RELIGIÃO

Sob o aspecto religioso, o pitagorismo assentava-se, fundamentalmente na crença da imortalidade da alma, cuja purificação ocorreria através de sucessivas reencarnações em corpos vivos, até que ela viesse a ter condições de libertar-se de invólucros mortais para confundir-se com o espírito divino.

Essa tese, de clara feição ética, foi desenvolvida com deliberada cautela, para que não se provocasse rompimento com a religião popular e politeísta, muito ao contrário, foi desenvolvida a partir dos mitos e cultos vigentes.

Em virtude desses crenças, os pitagóricos pregavam o vegetarianismo, pois acreditavam eles que na transmigração das almas, as mesmas poderiam ocupar o corpo de um animal, o qual mais tarde poderia ser morto para servir de alimento.

Por causa disso, Pitágoras é também conhecido como o “pai de vegetarianismo”. Dizem que até o final do século XIX. Quem se alimentasse de uma dieta sem carne, era chamado de Pitagórico.